PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 4.2: Optimización

 Hola a todos:

Resolución paso a paso del Problema 4.2 del examen de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de reserva de julio de 2026.

En este ejercicio resolvemos un problema clásico de optimización: determinar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 3 unidades.

En el vídeo trabajamos:

• Representación gráfica de la situación.

• Obtención de la ecuación de la recta que contiene la hipotenusa del triángulo.

• Cálculo de la pendiente mediante dos puntos.

• Uso de la ecuación punto-pendiente de una recta.

• Relación entre las variables x e y.

• Planteamiento de la función área del rectángulo.

• Reducción del problema a una función de una sola variable.

• Derivación de la función área.

• Estudio de crecimiento y decrecimiento.

• Determinación del máximo de la función.

• Cálculo de las dimensiones del rectángulo de área máxima.

• Obtención del valor máximo del área.

El resultado es un rectángulo de dimensiones x = 2 e y = 1,5, cuya área máxima es de 3 unidades cuadradas.

Este ejercicio es especialmente útil para practicar problemas de optimización con derivadas, planteamiento de funciones a partir de una situación geométrica y estudio de máximos y mínimos, contenidos fundamentales de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y de la PAU.

La resolución se desarrolla paso a paso, justificando tanto el planteamiento geométrico como el procedimiento analítico utilizado para obtener el máximo.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

00:33 Enunciado

01:36 Esquema de la situación

02:55 Apartado 4.2.1: recta de la hipotenusa

03:26 Pendiente y ecuación de la recta

05:03 Apartado 4.2.2: área máxima del rectángulo

05:19 Función del área y derivada

06:09 Estudio de signos

06:58 Cálculo del área máxima

07:30 Despedida

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 4.1: Funciones e integrales

 Hola a todos:

Resolución paso a paso del Problema 4.1 del examen de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de reserva de julio de 2026.

En este ejercicio trabajamos análisis de funciones y cálculo integral a partir de la función:

f(x) = x³ − 3x² + 2x

En el vídeo resolvemos:

• Dominio de la función.

• Puntos de corte con los ejes.

• Estudio de la simetría par e impar.

• Cálculo de la derivada.

• Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

• Obtención y clasificación de los máximos y mínimos relativos.

• Representación gráfica de la función.

• Cálculo del área delimitada por la curva, el eje X y las rectas verticales que pasan por el máximo y el mínimo.

• Separación del área en dos regiones cuando la función cambia de signo.

• Cálculo de las áreas mediante integrales definidas.

Además, al final incluyo un apartado BONUS en el que estudiamos una propiedad interesante de esta función: aunque no presenta simetría par ni impar respecto del origen, sí tiene simetría central respecto del punto (1,0).

Mediante un cambio de variable comprobamos esta simetría y entendemos también por qué las dos regiones utilizadas en el cálculo del área tienen exactamente la misma superficie.

Es un ejercicio muy completo para repasar el estudio y representación de funciones, derivadas, máximos y mínimos e integrales definidas de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y preparar la PAU con ejercicios reales de examen resueltos y justificados paso a paso.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

01:19 Enunciado

01:51 Apartado 4.1.1: Dominio, cortes con los ejes y simetría

03:44 Monotonía y extremos relativos

07:33 Representación de la función

08:22 Apartado 4.1.2: Área limitada por la curva y el eje x

10:58 Simetría respecto del punto (1, 0): demostración

14:38 Despedida

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 3.2: Geometría

 Hola a todos:

Resolución paso a paso del Problema 3.2 del examen de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de reserva de julio de 2026.

En este ejercicio trabajamos geometría en el espacio a partir de un plano y un punto, combinando distancias, rectas perpendiculares, intersecciones con los ejes coordenados y cálculo de ángulos mediante vectores.

En el vídeo resolvemos:

Distancia de un punto a un plano.

Obtención de la recta perpendicular a un plano que pasa por un punto dado.

Uso del vector normal del plano como vector director de la recta perpendicular.

Cálculo de los puntos de intersección de un plano con los tres ejes coordenados.

Construcción del triángulo determinado por esos tres puntos.

Cálculo de vectores y módulos de los lados del triángulo.

Cálculo de los ángulos interiores mediante el producto escalar.

Identificación del triángulo como isósceles y aprovechamiento de sus propiedades.

Además, al final incluyo un apartado BONUS para explicar un error frecuente al calcular ángulos con vectores: para obtener el ángulo interior de un vértice, los dos vectores utilizados deben tener su origen en dicho vértice. Vemos qué ocurre cuando no se hace así y por qué aparece el ángulo suplementario.

Es un ejercicio muy completo para repasar geometría analítica en el espacio de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y preparar la PAU con ejercicios reales de examen explicados y justificados paso a paso.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

00:35 Apartado 3.2.1: Distancia del punto P al plano

01:40 Apartado 3.2.2: Recta perpendicular al plano

03:00 Apartado 3.2.3: Ángulos interiores del triángulo

03:20 Vértices del triángulo: intersección con los ejes

05:02 Vectores y módulos de los lados

09:24 Ángulos con el producto escalar

11:36 Bonus: error típico al elegir los vectores

14:30 Despedida

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 3.1: Geometría

 Hola a todos:

Resolución paso a paso del Problema 3.1 del examen de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de reserva de julio de 2026.

En este ejercicio trabajamos geometría en el espacio a partir de dos puntos A y B y de una recta dada en forma continua.

En el vídeo resolvemos:

Cálculo del plano mediador respecto al cual dos puntos A y B son simétricos.

Obtención del punto medio y del vector normal del plano.

Comprobación de que una recta está contenida en un plano.

Obtención de un segundo plano que contiene un punto dado y cuya intersección con el primer plano es la recta indicada.

Uso de vectores directores y determinantes para obtener la ecuación de un plano.

Es un ejercicio muy completo para repasar las posiciones relativas de rectas y planos, ecuaciones de planos, vectores directores y geometría en el espacio de Matemáticas II de 2.º de Bachillerato.

Ideal para preparar la PAU de Matemáticas II de la Comunidad Valenciana y practicar con ejercicios reales de examen explicados y justificados paso a paso.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

00:32 Enunciado

00:48 Apartado 3.1.1: plano mediador

01:35 Vector normal del plano

02:23 Ecuación del plano π1

02:55 Apartado 3.1.2: recta contenida en el plano

04:08 Apartado 3.1.3: segundo plano

04:34 Punto M y vectores directores

06:25 Ecuación del plano π2

07:58 Despedida

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 2.2 Matrices ortogonales

 Hola a todos:

Resolvemos paso a paso el Problema 2.2 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de julio de 2026, examen de reserva.

En este ejercicio trabajamos álgebra matricial a partir de las propiedades de las matrices ortogonales. Además de realizar los cálculos, justificamos cada una de las propiedades utilizadas.

📌 En este problema veremos:

• Cómo comprobar que una matriz es ortogonal mediante A·Aᵀ = I.

• Cálculo de potencias elevadas de una matriz aprovechando su comportamiento cíclico.

• Cálculo de A³⁸ y (A·Aᵀ)³⁹.

• Propiedades del determinante de una matriz ortogonal.

• Demostración de que el determinante de una matriz ortogonal solo puede valer +1 o −1.

• Estudio de si el producto de dos matrices ortogonales también es ortogonal.

• Propiedades de la inversa y la traspuesta de un producto de matrices.

• Resolución de la ecuación matricial A²X − 2B = 0.

• Uso de la propiedad A⁻¹ = Aᵀ para simplificar cálculos.

Es un ejercicio especialmente interesante para repasar propiedades de matrices, potencias, inversas, traspuestas, determinantes y ecuaciones matriciales, contenidos fundamentales del bloque de Álgebra de Matemáticas II.

Ideal para preparar Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y la PAU/EBAU de la Comunidad Valenciana trabajando con un ejercicio real de examen y siguiendo todos los razonamientos paso a paso.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

00:34 Enunciado

01:21 Apartado 2.2.1: matriz ortogonal

02:39 Cálculo de A elevado a 38

05:32 Producto de A por su traspuesta

05:49 Apartado 2.2.2

07:24 Apartado 2.2.3

09:13 Apartado 2.2.4

11:53 Despedida

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 2.1 Sistemas con parámetro

 Hola a todos:

Resolvemos paso a paso el Problema 2.1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de julio de 2026, examen de reserva.

En este ejercicio trabajamos el rango de una matriz dependiente de un parámetro y la discusión de un sistema de ecuaciones mediante el teorema de Rouché-Frobenius.

📌 En este problema veremos:

• Cálculo del determinante de una matriz 3×3 mediante la regla de Sarrus.

• Estudio del rango de una matriz en función de un parámetro.

• Cálculo de menores para determinar el rango en los casos especiales.

• Obtención del sistema de ecuaciones a partir de una expresión matricial.

• Construcción de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

• Discusión de un sistema mediante el teorema de Rouché-Frobenius.

• Aplicación del método de Gauss para calcular rangos.

• Clasificación del sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

• Resolución mediante la regla de Cramer cuando el sistema tiene solución única.

• Cálculo de z en función del parámetro a.

El ejercicio permite repasar buena parte de los contenidos habituales de álgebra matricial de Matemáticas II: determinantes, rango, sistemas con parámetros, Gauss, Rouché-Frobenius y regla de Cramer.

Ideal para preparar Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y la PAU/EBAU de la Comunidad Valenciana trabajando con un ejercicio real de examen y siguiendo todos los razonamientos paso a paso.

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Ley D'Hondt explicada fácil | Cómo se reparten los escaños en España

 Hola a todos:

¿Cómo se transforman los votos de unas elecciones generales en los 350 escaños del Congreso de los Diputados? En este vídeo explicamos paso a paso y de forma sencilla cómo funciona el método D'Hondt, habitualmente conocido como Ley D'Hondt.

Veremos que el reparto de diputados no se realiza utilizando todos los votos de España conjuntamente, sino circunscripción por circunscripción. Cada provincia realiza su propio reparto de escaños, además de Ceuta y Melilla.

En el vídeo explicamos:

• Cómo se distribuyen los 350 diputados del Congreso entre las distintas circunscripciones.

• Qué significa la barrera electoral del 3 % de los votos válidos.

• Por qué la llamada “Ley D'Hondt” es en realidad un método de reparto de escaños.

• Cómo se construye la tabla de cocientes dividiendo los votos entre 1, 2, 3, 4...

• Cómo se seleccionan los cocientes más altos para asignar los escaños.

• Un ejemplo completo con varias candidaturas y 7 escaños en juego.

• La diferencia entre un reparto perfectamente proporcional y el resultado obtenido mediante D'Hondt.

• Un caso real: el reparto de los 16 diputados de la provincia de Valencia en las elecciones generales del 23 de julio de 2023.

• Un ejercicio adicional para practicar el procedimiento.

• Cómo automatizar los cálculos mediante una hoja de cálculo.

Además, utilizamos como referencia el reparto de diputados establecido para las elecciones generales del 29 de noviembre de 2026: Madrid elige 38 diputados, Barcelona 32, Valencia 16 y Alicante 12, entre otras circunscripciones.

IMPORTANTE: los votos utilizados en los ejemplos didácticos son completamente inventados y no constituyen ninguna encuesta, estimación ni previsión electoral. El objetivo del vídeo es exclusivamente explicar las matemáticas que hay detrás del reparto de escaños.

Si alguna vez te has preguntado por qué un determinado porcentaje de votos no se transforma exactamente en el mismo porcentaje de diputados, después de este vídeo entenderás mucho mejor cómo funciona el sistema.

PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 1: Bayes y binomial

 Hola a todos:

Resolvemos paso a paso el Problema 1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de julio de 2026, examen de reserva, dedicado a probabilidad y distribución binomial.

En este ejercicio partimos de los porcentajes de hombres y mujeres de una universidad y de sus respectivas probabilidades de abandono de los estudios. A partir de estos datos trabajamos varios de los conceptos fundamentales de probabilidad que pueden aparecer en la PAU.

A lo largo del vídeo resolvemos:

• Cálculo de probabilidades mediante un diagrama de árbol.

• Aplicación del teorema de la probabilidad total.

• Cálculo de una probabilidad condicionada mediante el teorema de Bayes.

• Planteamiento de una variable aleatoria binomial.

• Cálculo de probabilidades del tipo P(X ≥ k) utilizando el suceso contrario.

• Uso de la fórmula de la distribución binomial.

• BONUS: utilización de la tabla binomial proporcionada en el examen.

• Cambio de variable al suceso contrario cuando la probabilidad p no aparece directamente en la tabla.

Este último procedimiento es especialmente interesante porque permite utilizar la tabla oficial incluso cuando la probabilidad de éxito es superior a 0,5.

📌 Examen: PAU Comunidad Valenciana

📚 Asignatura: Matemáticas II

📅 Convocatoria: julio de 2026 – Reserva

✏️ Problema 1: Probabilidad, Bayes y distribución binomial

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