PAU Matemáticas II CV Junio 2026 Reserva | Problema 3.1: geometría en el espacio

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 3.1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado a geometría en el espacio.

En este ejercicio se estudia la posición relativa de dos rectas en el espacio que dependen de un parámetro real a. Para resolverlo, escribimos las rectas en forma paramétrica, obtenemos sus vectores directores, analizamos los rangos correspondientes y determinamos para qué valor del parámetro las rectas se cortan. Finalmente, calculamos el punto de corte y la distancia desde dicho punto al origen de coordenadas.

En este vídeo verás:

Cómo pasar una recta dada por ecuaciones implícitas a forma paramétrica.

Cómo obtener un punto y un vector director de una recta.

Cómo estudiar si dos rectas se cruzan o se cortan.

Cómo usar rangos y determinantes para analizar la posición relativa.

Cómo calcular el valor del parámetro para que las rectas sean secantes.

Cómo hallar el punto de corte entre dos rectas.

Cómo calcular la distancia entre dos puntos en el espacio.

Resultados principales:

Para a distinto de 2/3, las rectas r y s se cruzan.

Para a = 2/3, las rectas r y s se cortan en un punto.

El punto de corte es P = (-1/3, 4/3, 1).

La distancia entre el origen de coordenadas y P es raíz de 26 partido entre 3, aproximadamente 1,6997 unidades de longitud.

Este ejercicio es muy útil para repasar geometría en el espacio, rectas en forma paramétrica, vectores directores, posición relativa de rectas, rangos, determinantes y distancia entre puntos, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.

PAU Matemáticas II CV Junio 2026 Reserva | Problema 2.2: álgebra matricial

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 2.2 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado al álgebra matricial.

En este ejercicio se trabaja con una matriz que depende de un parámetro real a. Primero se calcula para qué valores del parámetro se cumple una ecuación matricial relacionada con el riesgo óptimo de una cartera de inversión. Después estudiamos cuándo la matriz admite inversa y calculamos la inversa en función del parámetro.

En este vídeo verás:

Cómo elevar una matriz al cuadrado.

Cómo calcular la matriz A² - I.

Cómo plantear una ecuación matricial.

Cómo igualar matrices término a término.

Cómo obtener los valores del parámetro que cumplen una condición.

Cómo estudiar cuándo una matriz tiene inversa.

Cómo calcular el determinante de una matriz 2x2 con parámetro.

Cómo obtener la inversa de una matriz usando adjuntos.

Resultados principales:

Los valores que optimizan el riesgo son a = -1 y a = 1.

La matriz admite inversa si a ≠ 0.

La inversa de la matriz queda expresada en función de a.

Este ejercicio es muy útil para repasar álgebra matricial, matrices con parámetro, ecuaciones matriciales, determinantes, matriz inversa y método de los adjuntos, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.

PAU Matemáticas II CV Junio 2026 Reserva | Problema 2.1: sistemas de ecuaciones

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 2.1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado a sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.

En este ejercicio se estudia un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que depende del parámetro real α. Discutiremos el sistema aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, y resolveremos el sistema cuando sea compatible.

En este vídeo verás:

Cómo construir la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Cómo calcular el determinante de la matriz del sistema.

Cómo localizar los valores críticos del parámetro α.

Cómo estudiar los casos especiales α = -1 y α = 2.

Cómo aplicar el teorema de Rouché-Frobenius.

Cómo clasificar el sistema según el valor del parámetro.

Cómo resolver el sistema compatible mediante la regla de Cramer.

Cómo expresar la solución final en función de α.

Resultados principales:

El determinante de la matriz de coeficientes es: (α + 1)² · (α - 2).

Si α no pertenece a {-1, 2}, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Si α = -1, el sistema es incompatible.

Si α = 2, el sistema es incompatible.

Para α no perteneciente a {-1, 2}, la solución es:

x = 1 / ((α + 1)(α - 2))

y = (α - 3) / ((α + 1)(α - 2))

z = (2α - 3) / ((α + 1)(α - 2))

Este ejercicio es muy útil para repasar discusión de sistemas con parámetro, rangos de matrices, determinantes, teorema de Rouché-Frobenius y regla de Cramer, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.

PAU Matemáticas II CV Junio 2026 Reserva | Problema 1: probabilidad y binomial

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado a probabilidad y distribución binomial.

En este ejercicio se plantea un juego de azar en el que se lanza una moneda y después un dado. Según el resultado de la moneda, la condición para ganar la ronda cambia. A partir de este planteamiento calcularemos la probabilidad de ganar una ronda, aplicaremos el teorema de Bayes y resolveremos un apartado final mediante una distribución binomial.

En este vídeo verás:

Cómo organizar los sucesos de un problema de probabilidad.

Cómo construir el diagrama de árbol.

Cómo aplicar el teorema de la probabilidad total.

Cómo calcular la probabilidad de ganar una ronda.

Cómo usar el teorema de Bayes para calcular una probabilidad condicionada.

Cómo reconocer una variable aleatoria binomial.

Cómo calcular una probabilidad binomial con 7 rondas.

Cómo interpretar los resultados en forma decimal y porcentual.

Resultados principales:

Probabilidad de ganar una ronda: 5/12 ≈ 0,4167, es decir, 41,67 %.

Probabilidad de que haya salido cara sabiendo que el alumno ha ganado: 2/5 = 0,4, es decir, 40 %.

Si la moneda siempre sale cara, la probabilidad de ganar exactamente 5 veces en 7 rondas es 28/729 ≈ 0,0384, es decir, 3,84 %.

Este ejercicio es muy útil para repasar probabilidad total, probabilidad condicionada, teorema de Bayes, diagramas de árbol y distribución binomial, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.

PAU Matemáticas CCSS CV Junio 2026 | Problema 3: probabilidad

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 3 de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026, dedicado a probabilidad.

En este ejercicio se estudia una empresa de pinturas con tres tipos de empleados: becarios, aprendices y maestros. A partir de los porcentajes del enunciado, construiremos un diagrama de árbol y utilizaremos el teorema de la probabilidad total, el teorema de Bayes y operaciones con sucesos para responder a los tres apartados.

En este vídeo verás:

Cómo organizar los datos de un problema de probabilidad.

Cómo asignar sucesos y probabilidades.

Cómo construir un diagrama de árbol.

Cómo usar el teorema de la probabilidad total.

Cómo calcular una probabilidad conjunta.

Cómo aplicar el teorema de Bayes.

Cómo trabajar con uniones e intersecciones de sucesos.

Cómo interpretar correctamente el resultado final.

Resultados principales:

Probabilidad de que el empleado tenga estudios superiores y sea aprendiz: 0,2625, es decir, 26,25 %.

Probabilidad de que sea aprendiz sabiendo que no tiene estudios superiores: 0,4167, es decir, 41,67 %.

Probabilidad de la intersección pedida en el apartado c): 0,75, es decir, 75 %.

Este ejercicio es muy útil para repasar probabilidad total, probabilidad condicionada, teorema de Bayes, diagramas de árbol, unión e intersección de sucesos, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas CCSS.

PAU Matemáticas CCSS CV Junio 2026 | Problema 2B: análisis de funciones

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 2B de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026, dedicado al análisis de funciones.

En este ejercicio se estudia una empresa tecnológica cuyos ingresos y gastos dependen de la cantidad de datos almacenados. A partir de estas funciones calculamos el beneficio máximo, analizamos la eficiencia financiera mediante una función cociente y resolvemos una integral definida relacionada con la función de gastos.

En este vídeo verás:

Cómo definir la función beneficio a partir de ingresos y gastos.

Cómo maximizar una función cuadrática.

Cómo resolver el apartado usando el vértice de la parábola.

Cómo interpretar el beneficio máximo en el contexto del problema.

Cómo plantear una función ratio ingresos/gastos.

Cómo derivar una función racional.

Cómo estudiar el signo de la derivada para justificar un máximo.

Cómo calcular una integral definida aplicando la regla de Barrow.

Resultados principales:

Función beneficio: B(x) = -4x² + 400x - 100.

El beneficio se maximiza al almacenar 50 terabytes de datos.

El beneficio máximo es 9900 unidades monetarias.

La eficiencia financiera máxima se alcanza con 5 terabytes de datos.

La eficiencia financiera máxima es 10.

Valor de la integral: 333536/15.

Este ejercicio es muy útil para repasar funciones cuadráticas, optimización, derivadas, funciones racionales, estudio de máximos e integrales definidas, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas CCSS.

PAU Matemáticas CCSS CV Junio 2026 | Problema 2A: análisis de funciones

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 2A de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026, dedicado al análisis de funciones.

En este ejercicio se estudia una función definida a trozos que representa el valor de mercado de una empresa. A partir de las condiciones de continuidad y de una derivada dada, calculamos los parámetros de la función. Después analizamos el crecimiento según los distintos gerentes, determinamos máximos y mínimos, y calculamos el salario del primer gerente mediante una integral definida.

En este vídeo verás:

Cómo estudiar la continuidad de una función definida a trozos.

Cómo calcular parámetros usando continuidad y derivadas.

Cómo derivar cada tramo de una función.

Cómo estudiar crecimiento y decrecimiento.

Cómo determinar máximos y mínimos absolutos y relativos.

Cómo interpretar los resultados en el contexto del problema.

Cómo aplicar la regla de Barrow para calcular una integral definida.

Cómo obtener el salario del primer gerente a partir de la integral de la función.

Resultados principales:

Los valores de los parámetros son: a = 1, b = 2, c = 1.

El valor de mercado crece con el primer gerente.

El valor de mercado desciende con el segundo gerente.

El valor de mercado crece con el tercer gerente.

Mínimo absoluto: t = 0, con g(0) = 2.

Máximo absoluto: t = 4, con g(4) = 33/8 = 4,125.

Máximo relativo: t = 1.

Mínimo relativo: t = 2.

Salario del primer gerente: 233333,33 €.

Este ejercicio es muy útil para repasar funciones definidas a trozos, continuidad, derivadas, crecimiento, extremos relativos y absolutos, integrales definidas y regla de Barrow, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas CCSS.

PAU Matemáticas CCSS CV Junio 2026 | Problema 1B: programación lineal

 Hola a todos:

Resolvemos el Problema 1B de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026, dedicado a programación lineal.

En este ejercicio se plantea una situación práctica en la que una granja quiere preparar una mezcla fertilizante utilizando dos productos, NutriMax y BioGrow. A partir de las condiciones mínimas de nitrógeno, fósforo y potasio, planteamos las restricciones del problema y buscamos la combinación que hace que el coste sea mínimo.

En este vídeo verás:

Cómo definir las incógnitas del problema.

Cómo organizar los datos en una tabla.

Cómo plantear las restricciones de programación lineal.

Cómo escribir la función objetivo que queremos minimizar.

Cómo representar gráficamente la región factible.

Cómo calcular los vértices de la región.

Cómo evaluar la función objetivo en cada vértice.

Cómo interpretar la solución final en el contexto del problema.

Resultados principales:

Función objetivo: z = 5x + 4y.

Restricciones principales:

2x + y ≥ 8,

x + y ≥ 6,

x + 2y ≥ 10,

x ≥ 0, y ≥ 0.

Vértices estudiados: (0,8), (2,4) y (10,0).

La mezcla de coste mínimo se consigue con 2 L de NutriMax y 4 L de BioGrow.

El coste mínimo es 26 €.

Este ejercicio es muy útil para repasar programación lineal, sistemas de inecuaciones, región factible, vértices y optimización de una función objetivo, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas CCSS.