Hola a todos:
Resolvemos el Problema 2.1 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado a sistemas de ecuaciones lineales con parámetro.
En este ejercicio se estudia un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que depende del parámetro real α. Discutiremos el sistema aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, y resolveremos el sistema cuando sea compatible.
En este vídeo verás:
Cómo construir la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.
Cómo calcular el determinante de la matriz del sistema.
Cómo localizar los valores críticos del parámetro α.
Cómo estudiar los casos especiales α = -1 y α = 2.
Cómo aplicar el teorema de Rouché-Frobenius.
Cómo clasificar el sistema según el valor del parámetro.
Cómo resolver el sistema compatible mediante la regla de Cramer.
Cómo expresar la solución final en función de α.
Resultados principales:
El determinante de la matriz de coeficientes es: (α + 1)² · (α - 2).
Si α no pertenece a {-1, 2}, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.
Si α = -1, el sistema es incompatible.
Si α = 2, el sistema es incompatible.
Para α no perteneciente a {-1, 2}, la solución es:
x = 1 / ((α + 1)(α - 2))
y = (α - 3) / ((α + 1)(α - 2))
z = (2α - 3) / ((α + 1)(α - 2))
Este ejercicio es muy útil para repasar discusión de sistemas con parámetro, rangos de matrices, determinantes, teorema de Rouché-Frobenius y regla de Cramer, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.
