Hola a todos:
Resolvemos el Problema 4.2 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria de junio de 2026 reserva, dedicado a optimización con derivadas.
En este ejercicio se estudia un comedero para animales con forma de semicilindro abierto por la parte superior. A partir del área total disponible de chapa metálica, obtenemos la función del volumen en función del radio y calculamos las dimensiones que hacen que ese volumen sea máximo.
En este vídeo verás:
Cómo interpretar geométricamente un problema de optimización.
Cómo calcular el área de un semicilindro abierto.
Cómo expresar una variable en función de otra usando una restricción.
Cómo obtener la función volumen en función del radio.
Cómo derivar la función volumen.
Cómo encontrar el valor crítico que maximiza el volumen.
Cómo comprobar que se trata de un máximo.
Cómo calcular las dimensiones finales del comedero.
Resultados principales:
Área total disponible: 600π cm².
Función volumen: V(r) = 300πr - (π/2)r³.
Radio que maximiza el volumen: r = 10√2 cm.
Longitud del comedero: L = 20√2 cm.
Volumen máximo: 2000√2π cm³.
Este ejercicio es muy útil para repasar optimización, derivadas, problemas geométricos, áreas, volúmenes, semicilindros y máximos de funciones, contenidos fundamentales para preparar la PAU de Matemáticas II.
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