PAU Matemáticas II CV Julio 2026 Reserva | Problema 2.2 Matrices ortogonales

 Hola a todos:

Resolvemos paso a paso el Problema 2.2 de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana, convocatoria extraordinaria de julio de 2026, examen de reserva.

En este ejercicio trabajamos álgebra matricial a partir de las propiedades de las matrices ortogonales. Además de realizar los cálculos, justificamos cada una de las propiedades utilizadas.

📌 En este problema veremos:

• Cómo comprobar que una matriz es ortogonal mediante A·Aᵀ = I.

• Cálculo de potencias elevadas de una matriz aprovechando su comportamiento cíclico.

• Cálculo de A³⁸ y (A·Aᵀ)³⁹.

• Propiedades del determinante de una matriz ortogonal.

• Demostración de que el determinante de una matriz ortogonal solo puede valer +1 o −1.

• Estudio de si el producto de dos matrices ortogonales también es ortogonal.

• Propiedades de la inversa y la traspuesta de un producto de matrices.

• Resolución de la ecuación matricial A²X − 2B = 0.

• Uso de la propiedad A⁻¹ = Aᵀ para simplificar cálculos.

Es un ejercicio especialmente interesante para repasar propiedades de matrices, potencias, inversas, traspuestas, determinantes y ecuaciones matriciales, contenidos fundamentales del bloque de Álgebra de Matemáticas II.

Ideal para preparar Matemáticas II de 2.º de Bachillerato y la PAU/EBAU de la Comunidad Valenciana trabajando con un ejercicio real de examen y siguiendo todos los razonamientos paso a paso.

La temporización del vídeo es la siguiente:

00:00 Introducción

00:34 Enunciado

01:21 Apartado 2.2.1: matriz ortogonal

02:39 Cálculo de A elevado a 38

05:32 Producto de A por su traspuesta

05:49 Apartado 2.2.2

07:24 Apartado 2.2.3

09:13 Apartado 2.2.4

11:53 Despedida

PAU Matemáticas II CV Junio 2026 | Problema 2.2: Matrices ortogonales paso a paso

 Hola a todos:

En este vídeo resolvemos el Problema 2.2 del examen de Matemáticas II de la PAU de la Comunidad Valenciana de junio de 2026, correspondiente al bloque de álgebra matricial.

Trabajamos un ejercicio centrado en las matrices ortogonales. En primer lugar, comprobamos que una matriz trigonométrica es ortogonal para cualquier valor real del parámetro. Después determinamos los valores de los parámetros para que otra matriz sea ortogonal y, finalmente, resolvemos una ecuación matricial usando la propiedad fundamental de este tipo de matrices: su inversa coincide con su transpuesta.

📌 En este vídeo verás:

Qué significa que una matriz sea ortogonal.

Cómo comprobar que una matriz cumple A · A^T = I.

Cómo usar la identidad trigonométrica sen^2(alfa) + cos^2(alfa) = 1.

Cómo determinar parámetros para que una matriz sea ortogonal.

Cuántas matrices ortogonales existen para una determinada forma matricial.

Cómo despejar una incógnita matricial.

Cómo usar que, si B es ortogonal, entonces B^-1 = B^T.

Cómo obtener todas las matrices solución de una ecuación matricial.

Resultados principales:

La matriz A es ortogonal para todo valor real de alfa.

Para que la matriz B sea ortogonal, debe cumplirse a = ±1 y b = ±1.

Existen 4 matrices ortogonales de la forma indicada.

La ecuación matricial tiene 4 matrices solución, una para cada combinación posible de a y b.

Este ejercicio es muy útil para repasar matrices ortogonales, matriz transpuesta, matriz inversa, producto de matrices, identidad trigonométrica fundamental y ecuaciones matriciales, contenidos importantes de Matemáticas II de 2º de Bachillerato y PAU.